MAKALAH TENTANG PEMECAHAN KOMBINASI DAN PERMUTASI

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami dapat menyelesaikan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Matematika yang berjudul “ Pemecahan Kombinasi dan Permutasi” Selain itu tujuan dari penyusunan Makalah ini juga untuk menambah wawasan tentang pengetahuan mempelajari teknik menghitung secara meluas.

Kami juga mengucapkan terima kasih kepada  semua pihak yang telah membantu kami yang telah membimbing kami agar dapat menyelesaikan makalah ini.

Akhirnya, kami menyadari bahwa Makalah ini sangat jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, kami menerima kritik dan saran agar penyusunan     

            Makalah selanjutnya menjadi lebih baik. Untuk itu kami mengucapkan banyak terima kasih dan semoga karya tulis ini bermanfaat bagi para pembaca.

Arga Makmur,    Januari 2019

     Penulis

                  Tetra Fahtul Hasanah

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR……………………………………………………..             ii

DAFTAR ISI………………………………………………………………              iii

BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………             1

1.1. Latar Belakang………………………………………………………..               1

1.2. Rumusan Masalah…………………………………………………….               1

1.3. Tujuan………………………………………………………………...               1

BAB II PEMBAHASAN………………………………………………….             2

2.1. Pengertian Kombinasi………………………………………………..                2

2.2. Pengertian Permutasi…………………………………………………               2

BAB III PENUTUP………………………………………………………               6

3.1. Kesimpulan…………………………………………………………..                6

3.2. Saran…………………………………………………………………                6

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………                7

 BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam materi ini kita akan membahas teori permutasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA. Namun demikian, materi ini akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula dapat memberikan

wawasan yang luas mengenai pendefinisian permutasi dan kombinasi.

Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan serta permutasi dan kombinasi.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, dapat disimpulkan beberapa rumusan masalah sebagai berikut :

1.      Apa yang dimaksud dengan permutasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari ?

2.      Apa saja macam-macam permutasi ?

3.      Apa yang dimaksud dengan kombinasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari ?

1.3.  Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, dapat disimpulkan beberapa tujuan sebagai berikut :

1.      Mampu memahami tentang definisi permutasi.

2.      Mampu memahami tentang macam-macam permutasi.

3.      Mampu memahami tentang definisi kombinasi.

BAB II PEMBAHASAN

 2.1. Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah suatu pilihan dari unsur-unsur yang ada tanpa memperhatikan urutannya

Banyaknya kombinasi k unsur dari n unsur dinyatakan dengan C (n, k) =       𝒏!

                                                                                                                      (𝒏−𝒌)!𝒌!

 Contoh :

Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 elor kambing, dan 3 ekor sapi. Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih ternak-ternak yang diinginkannya ?

Jawab :

Banyaknya cara memilih ayam = C(6, 3) =    6!       =    6!     = 20 cara

                                                                     (6−3)!3!     3!3! 

Banyaknya cara memilih kambing = C(4, 2) =     4!        =     4!      = 6 cara

                                                                          (4−2)!2!        2!2!

Banyaknya cara memilih sapi = C(3, 1) =    3!        =    3!    = 3 cara

                                                                   (3−1)!1!      2!1!

Jadi, petani tersebut memilih pilihan sebanyak  = 20 x 6 x 3 = 360 cara.

Inisiasi kombinasi dalam kehidupan sehari-hari adalah misalnya arisan ibu-ibu yang diadakan sebulan sekali dimana setiap kali mengundi diambil 2 orang yang akan memperoleh arisan tersebut. Banyaknya pasangan orang yang akan memperoleh arisan di sini merupakan masalah kombinasi.

2.2. Pengertian Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyekobyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan yang lain.

Contoh : {1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

o   Macam-macam Permutasi :

a. Permutasi k Unsur dari n Unsur

Susunan k unsur dari n unsur yang berlainan dengan memperhatikan urutan disebut permutasi k unsur dari n unsur (k ≤ n).

Misalkan, kita diminta menyusun tiga huruf A, B, dan C, akan disusun 2 huruf dengan urutan yang berbeda, maka susunan yang diperoleh adalah AB, AC, BA, BC, CA, CB. Seluruhnya ada 6 susunan yang berbeda, setiap susunan ini disebut permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia. Banyaknya permutasi k unsure dari n unsur dilambangkan oleh P(n, k).

Rumus :

Keterangan :

n = banyaknya seluruh obyek,

k = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Contoh :

Tersedia 5 buah buku mata pelajaran yang berbeda, diambil 3 buku dan akan disusun di atas rak buku. Ada berapa macam susunan yang dapat dilakukan ?

Jawab :

Banyaknya susunan buku itu adalah permutasi 3 buku dari 5 buku yang tersedia.

P(5, 3) =    5!        =  5 x 4 x 3 x 2! = 60

                  (5−3)!                2!

Jadi, banyaknya susunan 3 buku dari 5 buku itu seluruhnya ada 60.

b. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama

Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.

Banyaknya permutasi dari n unsur yang memuat k unsur yang sama, l unsur yang sama, …, m unsur yang sama (k + l+ … + m ≤ n) dapat ditentukan dengan rumus :

P =    𝒏!

     𝒌!𝒍!…𝒎!

Contoh :

Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru, dan 3 bola putih yang sama jenis dan ukurannya. Ada berapa carakah bola-bola itu dapat disusun berdampingan ?

Jawab :

n = 6

k = 2

l = 1

m = 3

Banyaknya susunan bola-bola itu adalah     6!    =  6 x 5 x 4 x 3!   = 60

                                                            2!3!         2 x 1 x 3!

c. Permutasi Siklis

Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan menetapkan satu objek pada satu posisi, kemudian menetukan kemungkinan posisi objek lain yang sisa, sehingga bila teersedia n unsure berbeda, maka :

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur = (n - 1)!

Contoh :

Berapa cara 5 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar ?

Jawab :

Banyaknya susunan duduk 5 orang yang mengelilingi sebuah meja bundar

= (5 - 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1! = 24.

Inisiasi dalam kehidupan sehari-hari adalah penyusunan panitia suatu kegiatan yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara

Dalam penyusunan panitia ini jelas urutan akan sangat berpengaruh.

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Dari materi permutasi kita bisa menentukan banyak cara pengambilan data. Dengan permutasi kita dapat menghitung kemungkinan banyaknya posisi duduk satu keluarga tersebut. Selain itu, kita juga dapat menghitung banyaknya susunan huruf maupun angka dengan cara yang tepat yaitu dengan menggunakan permutasi.

Pada materi kombinasi inti pengertiannya adalah susunan unsureunsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA jadi, dalam menggunakan kombinasi kita dapat menyimpulkan banyak cara pemilihan suatu kejadian dengan cara yang ditentukan.

3.2. Saran

Demikianlah makalah yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin.

 DAFTAR PUSTAKA

 Wheeler, Ruric E. 1992. Moderm Mathematics. Belmont, CA : Wadsworth.

Hudoyo Herman. 1996/1997. Matematika. : Depdikbud.

http://mejakreasi.blogspot.com/2012/12/permutasi-dan-kombinasi-peluang.html

Suprijanto, H. Sigit.2009.Matematika.Jakarta Timur: Yudhistira.